Сложный процентный рост формула: Урок математики в 6-м классе на тему «Решение задач на процентный рост»

Содержание

Формула расчета сложных процентов

Сегодня все чаще люди задумываются о своем финансовом благополучии и о будущем своих детей и внуков. Каким образом можно обезопасить их от возможных материальных невзгод и придать им финансовую стабильность и уверенность в завтрашнем дне?

Такое возможно лишь при осуществлении долгосрочных вложений, которые позволят в течение некоторого запланированного времени превратить небольшой стартовый капитал в нужную сумму посредством применения сложных процентов.

В современных условиях развития экономики сложный процент считается определяющим фактором, дающим инвестору возможность заработать собственный капитал и с легкостью приумножить его. В чем же сложность сложного процента и почему он настолько важен при создании капитала?

Предположим, вы решили вложить деньги в банк или какую-то другую инвестиционную организацию денежную сумму. На этот стартовый капитал по итогам заранее оговоренного периода происходит начисление процентов. В результате размер вашего первоначального капитала

увеличивается на сумму начисленных процентов. А это означает, что увеличилась сумма ваших будущих доходов.

Последующий процент за следующий период будет начислен уже не на сумму стартового капитала, который вы вложили в бизнес, а с учетом суммы процентов, прибавленной в прошлом периоде. Работает схема “процент начислен на процент” или, так называемый, сложный процент.

Рассмотрим расчет сложных процентов на конкретном примере. Так, для правильного расчета прибыли выполним ряд элементарных арифметических действий, в основе которых лежат формулы, приведенные ниже.

Сложный процент: Формула 1

Итак, вы приняли решение положить на счет в банке, к примеру, тысячу американских долларов под 15% годовых, с таким расчетом, что через 10 лет ваши дети смогут воспользоваться накопленными сбережениями, которые за это время существенно вырастут в результате капитализации.

Для расчета итоговой суммы применяется особая методика расчета сложного процента, которая подразумевает, что изначальный вклад и начисленная вам прибыль ежегодно складываются, образуя базис для последующего роста прибыли.

Для определения итоговой суммарной прибыли за весь период действия вклада (Σ) используют простую формулу:

Σ=В*(1 + Х/100)Г, где

В – первоначальный вклад,

Г – период оборота капитала, исчисляемый в годах,

Х% – годовая ставка в процентном соотношении.

Подставив конкретные значения в эту формулу, можно рассчитать, что по истечении 5 лет сумма увеличится до 2011,36 долларов, через 10 лет она составит уже 4045,56. Разве это не заманчиво?

Сложный процент: Формула 2

Можно использовать еще один метод начисления и прибавления ставки процента, являющийся наиболее выгодным и удобным для клиента: благодаря учету поквартальных или ежемесячных прибавлений ставки процента, которые в последующем периоде приобретают свойства непосредственно вклада. Такой расчет вклада с применением специальных банковских формул убеждает в том, что целесообразнее руководствоваться им, нежели в первом примере, когда к вкладу прибавляется лишь сумма годовых процентов.

Можно немного усовершенствовать схему расчета месячных выплат, прибавленных к базовой сумме вклада. В этих целях рассчитывают месячную процентную ставку (в случае, если проценты выплачиваются соответственно каждые 30 – 31 календарных дней). Итоговая суммарная прибыль (Σ) рассчитывается по следующей формуле:

Σ=В*(1+Х/100/12)М, где В – это сумма вклада (с суммированием следующих начислений ежемесячной ставки процента),

М – временной отрезок действия вклада в месяцах.

Для чего дополнительно делить процентный показатель на 12? Ответ прост – год включает 12 месяцев, а нам нужно произвести расчет ежемесячной ставки, поскольку в условиях задачи ставка дана годовая. Так, к примеру, если бы возникла необходимость использования такой формулы для расчета поквартальных начислений по вкладу, то следовало бы делить годовой процент на 4, по полугодиям – на 2.

Итак, согласно поставленным условиям, если бы в январе был сделан вклад в 1000 долларов с под 15% годовых, то уже к ноябрю мы бы получили около 1132 долларов.

Используя такую методику, как сложный процент

, вы самостоятельно можете определиться с суммой стартового капитала и периодом времени, за который сможете значительно обогатиться. В любом случае, заставьте деньги работать на вас, поскольку от этого зависит исполнение ваших желаний.

P.S. Рекомендую также ознакомиться со статьей “Как рассчитать процентную ставку по вкладу”, чтобы лучше понимать методику расчёта и начисления банковских процентов.

Калькулятор онлайн - Сложные проценты. Депозитный калькулятор

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Понятие о проценте

Проценты - одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 56,3% избирателей, рейтинг победителя конкурса равен 74%, промышленное производство увеличилось на 3,2%, банк начисляет 8% годовых, молоко содержит 1,5% жира, ткань содержит 100% хлопка и т.

д. Ясно, что понимание такой информации необходимо в современном обществе.

Одним процентом от любой величины - денежной суммы, числа учащихся школы и т.д. - называется одна сотая ее часть. Обозначается процент знаком %, Таким образом,
1% - это 0,01, или \( \frac{1}{100} \) часть величины

Приведем примеры:
- 1% от минимальной заработной платы 2300 р. (сентябрь 2007 г.) - это 2300/100 = 23 рубля;
- 1% от населения России, равного примерно 145 млн. человек (2007 г.), - это 1,45 млн. человек;
- 3%-я концентрация раствора соли - это 3 г соли в 100 г раствора (напомним, что концентрация раствора - это часть, которую составляет масса растворенного вещества от массы всего раствора).

Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. Поэтому, например, надпись на этикетке "хлопок 100%" означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников.

Слово "процент" происходит от латинского pro centum, означающего "от сотни" или "на 100". Это словосочетание можно встретить и в современной речи. Например, говорят: "Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы". Если понимать это выражение буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 человек, участвующих в лотерее и не получивших призы. В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7% участников лотереи, и именно такое понимание соответствует происхождению слова "процент": 7% - это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.

Знак "%" получил распространение в конце XVII века. В 1685 году в Париже была издана книга "Руководство по коммерческой арифметике" Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали "cto" (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это "с/о" за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.

Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби, выражающей часть величины.

Чтобы выразить проценты числом, нужно количество процентов разделить на 100. Например:

\( 58\% = \frac{58}{100} = 0,58; \;\;\; 4,5\% = \frac{4,5}{100} = 0,045; \;\;\; 200\% = \frac{200}{100} = 2 \)

Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100:

\( 0,58 = (0,58 \cdot 100)\% = 58\% \) \( 0,045 = (0,045 \cdot 100)\% = 4,5\% \)

В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, пятая часть - 20%, три пятых - 60% и т.д.

Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов. Например, в сообщениях "Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50%" и "Минимальная заработная плата повышена с февраля в 1,5 раз" говорится об одном и том же.

Точно так же увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза - это значит увеличить на 200%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%.

Аналогично
- увеличить на 300% - это значит увеличить в 4 раза,
- уменьшить на 80% - это значит уменьшить в 5 раз.

Задачи на проценты

Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби. В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% ("целое"), а ее часть b выражается числом p%.

В зависимости от того, что неизвестно — а, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.

1. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти \( \frac{p}{100} \) от a, надо a умножить на \( \frac{p}{100} \):

\( b = a \cdot \frac{p}{100} \)

Итак, чтобы найти р% от числа, надо это число умножить на дробь \( \frac{p}{100} \).

Например, 20% от 45 кг равны 45 • 0,2 = 9 кг, а 118% от х равны 1,18x

2. Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью \( \frac{p}{100} , \; (p \neq 0) \), надо b разделить на \( \frac{p}{100} \):
\( a = b : \frac{p}{100} \)

Таким образом, чтобы найти число по его части, составляющей р% этого числа, надо эту часть разделить на \( \frac{p}{100} \). Например, если 8% длины отрезка составляют 2,4 см, то длина всего отрезка равна 2,4:0,08 = 240:8 = 30 см.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а \( (a \neq 0) \), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а затем эту часть выразить в процентах:

\( p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \) Значит, чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют \( \frac{9 \cdot 100}{180} = 5\% \) раствора.

Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.

Нетрудно заметить, что формулы

\( b = a \cdot \frac{p}{100}, \;\; a = b : \frac{p}{100}, \;\; p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \;\; (a,b,p \neq 0 ) \) взаимосвязаны, а именно, две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби, и, при желании, можно ею пользоваться, чтобы найти любую из неизвестных величин a, b и p.

Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби.

Простой процентный рост

Когда человек не вносит своевременную плату за квартиру, на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роеnа - наказание). Так, если пеня составляет 0,1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, например, за 19 дней просрочки сумма составит 1,9% от суммы квартплаты. Поэтому вместе, скажем, с 1000 р. квартплаты человек должен будет внести пеню 1000 • 0,019 = 19 р., а всего 1019 р.

Ясно, что в разных городах и у разных людей квартплата, размер пени и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл составить общую формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки, а n - число просроченных дней. Сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим Sn.
Тогда за n дней просрочки пеня составит рn% от S, или \( \frac{pn}{100}S \), а всего придется заплатить \( S + \frac{pn}{100}S = \left( 1+ \frac{pn}{100} \right) S \)
Таким образом:
\( S_n = \left( 1+ \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов. Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае
\( S_n = \left( 1- \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает. Рост в этом случае "отрицательный".

Сложный процентный рост

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете доход составляет, например, 10% от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход - "проценты", как его обычно называют.

Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу (капитализируются), и поэтому в конце следующего года 10% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 р. и ни разу в течение трех лет не будет брать деньги со счета.

10% от 1000 р. составляют 0,1 • 1000 = 100 р., следовательно, через год на его счете будет
1000 + 100 = 1100 (р.)

10% от новой суммы 1100 р. составляют 0,1 • 1100 = 110 р., следовательно, через 2 года на его счете будет
1100 + 110 = 1210 (р.)

10% от новой суммы 1210 р. составляют 0,1 • 1210 = 121 р., следовательно, через 3 года на его счете будет
1210 + 121 = 1331 (р.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, "лобовом" подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 20 лет. Между тем подсчет можно вести значительно проще.

А именно, через год начальная сумма увеличится на 10%, то есть составит 110% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,1 раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 • 1,1 = 1,12 раз.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 • 1,12 = 1,13 раз. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое: 1,13 • 1000 = 1,331 • 1000 - 1331 (р.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна Sn р.

Величина p% от S составляет \( \frac{p}{100}S \) р., и через год на счете окажется сумма
\( S_1 = S+ \frac{p}{100}S = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)S \)
то есть начальная сумма увеличится в \( 1+ \frac{p}{100} \) раз.

За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма
\( S_2 = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)S_1 = \left( 1+ \frac{p}{100} \right) \left( 1+ \frac{p}{100} \right)S = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)^2 S \)

Аналогично \( S_3 = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)^3 S \) и т. n S \)

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

§3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам

Для того чтобы сопоставить результаты наращения по раз­ным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствую­щие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже формулах подписной индекс s проставлен у ставки простых процентов):

для срока меньше года простые проценты больше слож­ ных:

(1 + nis) > (1 + /)«,

для срока больше года сложные проценты больше про­ стых:

(1 + nis) < (1 + /)«,

для срока, равного году, множители наращения равны друг другу.

Заметим также, что при п > 1 с увеличением срока разли­чие в последствиях применения простых и сложных процен­тов усиливается. Графическую иллюстрацию соотношения множителей наращения см. на рис. 3.3. В табл. 3.1 приведены значения множителей наращения для /5 = / = 12%, К = 365 дней.

48

1 + ni9

Рис. 3.3

Таблица 3.1

Сравнение множителей наращения,»," i'

- 12%

Множители

Срок ссуды

наращения

30 ди.

180 ди.

I год

5 лет

10 лет

100 лет

1 + ni (1 + 0"

1,01644 1,00936

1,05918 1,05748

1,12 1,12

1,6 1,76234

2,2 3,10584

13 83522,3

Формулы удвоения. Наиболее наглядно влияние вида ставки можно охарактеризовать, сопоставляя числа лет, необходимые для удвоения первоначальной суммы. На основе (2. 1) и (3.1) получим следующие формулы удвоения:

— удвоение по простым процентам:

1

*,'

п =

удвоение по сложным процентам:

п =

1п2 0,69315

1п(1 + /) 1п(1 + 0

ПРИМЕР 3.5. Найдем сроки удвоения для /s = / = 22,5%: 1 .. In2

= 3,04.

л =

1Ш.225

0,225

= 4,44; п =

§3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки

Номинальная ставка. В современных условиях проценты капи­тализируются, как правило, не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерче-

49

ские банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно восполь­зоваться формулой (3.1). Параметр п в этих условиях будет озна­чать число периодов начисления, а под ставкой / следует пони­мать ставку за соответствующий период. Например, при поквар­тальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5 х 4 = 20. Множитель наращения по квар­тальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае 1,0820 = 4,6609. На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, одновременно указывается период начисления процентов. Например, "18% го­довых с поквартальным начислением" процентов.

Итак, пусть годовая ставка равна у, число периодов начисле­ния в году — /и. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку у называют номинальной (nominal rate). Формулу на­ращения теперь можно представить следующим образом:

S=p(l+AN, (3.7)

где N — общее количество периодов начисления.

Если N целое число (N = л/и), то в большинстве случаев для определения величины множителя наращения можно восполь­зоваться таблицей сложных процентов (табл. 2 Приложения). Например, при у = 20% и поквартальном начислении процен­тов = 4) в течение 5 лет отыскиваем табличное значение множителя для / = 20/4 = 5% и п = 5 х 4 = 20; находим q = 2,653298.

ПРИМЕР 3.6. Изменим одно условие в примере 3. 55|20 = 2139049,01 руб.

Напомним, что при ежегодном начислении процентов мы по­лучили S = 2055464,22.

Нетрудно догадаться, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). Для иллюстра­ции сказанного приведем значения множителей для J = 20% и п = 10 лет и разной частоте наращения в пределах года:

50

т

1

2

4

12

365

Я

6,1917

6,7275

7,04

7,2682

7,385

Как следует из приведенных данных, наибольшую "прибав­ку" в наращении дает переход от ежегодного начисления про­центов к полугодовому, наименьший эффект — переход от еже­месячного к ежедневному. -] = 751039,85 руб.

Эффективная ставка. Введем теперь новое понятие — дейст­вительная, или эффективная ставка процента (effective rate). Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же ре­зультат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через /. По определению мно­жители наращения по двум ставкам (эффективной и номиналь­ной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:

Из равенства множителей наращения следует

«-(l +£)"-!. (3-8)

Эффективная ставка при т > 1 больше номинальной. .j»., =0.280732.

Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,0732%.

Для сокращения дальнейшей записи используем символ /т\ означающий размер номинальной ставки и количество начисле­ний за год. Эквивалентная замена номинальной ставки имеет место только в том случае, когда удовлетворяется равенство

1 +

А

щ

т,

т2

1+4

Поскольку т может иметь только целые значения, то удоб­нее определять значение новой ставки, задаваясь величиной т?

/О" г) ■>■>

т2

mi 1+4-

щ

-1

ПРИМЕР 3. 9. Определим номинальную ставку /4>, которая без­убыточно заменит ставку/12' = 25% в примере 3.8. Получим

12

У<4» - 4

К£)4-

0,25524.

52

Таким образом, сокращение количества начислений потребует увеличения ставки с 25 до 25, 524 %.

При подготовке контрактов может возникнуть необходи­мость в определении у по заданным значениям / и т. Находим

у «/w(wVT77-l). (3.9)

Формула комплексного годового темпа роста

Формула комплексного годового темпа роста (содержание)

Что такое формула комплексного годового темпа роста?

Компаундирование - это эффект, при котором инвестиция приносит проценты не только по основному компоненту, но также дает проценты по процентам. Таким образом, совокупный годовой темп роста - это эффективный годовой прирост, заработанный на инвестициях, с учетом сложения в общей картине. Это в основном предполагает, что проценты, заработанные каждый год, реинвестируются и приносят те же проценты, что и основная сумма.Это причина того, что совокупный годовой темп роста всегда выше простой процентной ставки. Многие инвестиции, такие как паевые инвестиционные фонды, доходность фондового рынка не очень линейны и очень нестабильны.

Сводный годовой темп роста помогает сгладить эту прибыль и покажет, сколько инвестор заработал за период инвестирования, учитывая тот факт, что все доходы между этим периодом реинвестируются с одинаковой ставкой. Благодаря такому эффекту сглаживания он помогает нам сравнивать наборы данных с разным уровнем волатильности.(1 / (Количество лет * частота смешивания)) - 1)

Частота смешивания:

  • Полугодовой компаундирование: 2
  • Ежеквартальная компаундирование: 4
  • Ежемесячная частота: 12 и так далее

Примеры формулы CAGR (с шаблоном Excel)

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять расчет формулы CAGR.

Формула сложного годового прироста

В этом руководстве объясняется, что такое сложный годовой темп роста и как составить четкую и легкую для понимания формулу CAGR в Excel.

В одной из наших предыдущих статей мы рассказали о силе сложных процентов и о том, как их рассчитывать в Excel. Сегодня мы сделаем еще один шаг и рассмотрим различные способы вычисления совокупного годового темпа роста (CAGR).

Проще говоря, CAGR измеряет доходность инвестиций за определенный период времени. Строго говоря, это не бухгалтерский термин, но он часто используется финансовыми аналитиками, инвестиционными менеджерами и владельцами бизнеса, чтобы выяснить, как развивался их бизнес, или сравнить рост доходов конкурирующих компаний.

В этом руководстве мы не будем углубляться в арифметику и сосредоточимся на том, как написать эффективную формулу CAGR в Excel, которая позволяет рассчитывать совокупный годовой темп роста на основе трех основных входных значений: начального значения инвестиций, конечного значения и времени. период.

  • Что такое совокупный годовой темп роста (CAGR)?
  • Как рассчитать CAGR в Excel

Что такое совокупный годовой темп роста?

Совокупный годовой темп роста (сокращенно CAGR) - это финансовый термин, который измеряет среднегодовой темп роста инвестиций за определенный период времени.

Чтобы лучше понять логику CAGR, давайте взглянем на следующий пример. Предположим, вы видите в финансовом отчете своей компании следующие цифры:

Нетрудно рассчитать темпы роста из года в год, используя обычную формулу процентного увеличения, как показано на скриншоте ниже:

Но как получить единое число, показывающее темп роста за 5 лет? Есть два способа вычислить это - средний и сложный годовой темп роста.Скорость роста соединения является лучшим показателем по следующим причинам:

  • Среднегодовой темп роста (AAGR) - это среднее арифметическое ряда темпов роста, которое легко вычисляется с использованием обычной формулы СРЕДНЕГО. Однако он полностью игнорирует эффекты сложения, и поэтому рост инвестиций может быть переоценен.
  • Совокупный годовой темп роста (CAGR) - это среднее геометрическое, которое представляет норму прибыли для инвестиций, как если бы они увеличивались с постоянной скоростью каждый год.Другими словами, CAGR - это «сглаженный» темп роста, который, если его усугублять ежегодно, был бы эквивалентен тому, что ваши инвестиции достигли за определенный период времени.

Формула CAGR

Общая формула CAGR, используемая в анализе бизнеса, финансов и инвестиций, выглядит следующим образом:

Где:

  • BV - Начальная стоимость инвестиции
  • EV - Конечная стоимость инвестиции
  • n - количество периодов (например, годы, кварталы, месяцы, дни и т. Д.))

Как показано на следующем снимке экрана, формулы Average и CAGR возвращают разные результаты:

Чтобы упростить понимание, на следующем изображении показано, как рассчитывается CAGR для разных периодов с точки зрения BV, EV и n:

Как рассчитать CAGR в Excel

Теперь, когда у вас есть общее представление о том, что такое комбинированный годовой темп роста, давайте посмотрим, как вы можете рассчитать его в своих таблицах Excel. (1/ n ) -1

В этом примере BV находится в ячейке B1, EV в B2 и n в B3.(1 / (ROW (B7) -ROW (B2))) - 1

Наконечник. Если выходное значение отображается как десятичное число, примените формат процента к ячейке формулы.

CAGR, формула 2: функция RRI

Самый простой способ рассчитать совокупный годовой темп роста в Excel - использовать функцию RRI, которая предназначена для возврата эквивалентной процентной ставки по ссуде или инвестициям за определенный период на основе текущей стоимости, будущей стоимости и общего количества периоды:

РРИ (нпер, пв, фв)

Где:

  • Nper - общее количество периодов.
  • Pv - приведенная стоимость инвестиции.
  • Fv - это будущая стоимость инвестиции.

С nper в B4, pv в B2 и fv в B3, формула принимает следующий вид:

= RRI (B4, B2, B3)

CAGR, формула 3: функция POWER

Еще один быстрый и простой способ вычисления CAGR в Excel - использование функции POWER, которая возвращает результат числа, возведенного в определенную степень.

Синтаксис функции POWER следующий:

МОЩНОСТЬ (число, мощность)

Где число - базовое число, а степень - экспонента, до которой нужно возвести базовое число.

Чтобы сделать калькулятор CAGR в Excel на основе функции СТЕПЕНЬ, определите аргументы следующим образом:

  • Число - конечное значение (EV) / начальное значение (BV)
  • Мощность - 1 / количество периодов (n)

= МОЩНОСТЬ ( EV / BV , 1/ n ) -1

А вот и наша формула POWERful CAGR в действии:

= МОЩНОСТЬ (B7 / B2,1 / 5) -1

Как и в первом примере, у вас может быть функция СТРОКА для расчета количества периодов за вас:

= МОЩНОСТЬ (B7 / B2,1 / (ROW (B7) -ROW (B2))) - 1

CAGR, формула 4: функция RATE

Еще один метод расчета CAGR в Excel - это использование функции RATE, которая возвращает процентную ставку за период аннуитета.

RATE (nper, pmt, pv, [fv], [type], [guess])

На первый взгляд синтаксис функции СТАВКА выглядит немного сложным, но как только вы разберетесь с аргументами, вам может понравиться этот способ вычисления CAGR в Excel.

  • Nper - общее количество платежей по аннуитету, то есть количество периодов, в течение которых должны быть выплачены ссуды или инвестиции. Необходимые.
  • Pmt - сумма выплаты за каждый период. Если он опущен, необходимо указать аргумент fv.
  • Pv - текущая стоимость инвестиции. Необходимые.
  • Fv - будущая стоимость инвестиции по окончании выплат. Если опущено, формула принимает значение по умолчанию 0.
  • Тип - необязательное значение, указывающее, когда подлежат оплате:
    • 0 (по умолчанию) - платежи подлежат оплате в конце периода.
    • 1 - платежи подлежат оплате в начале периода.
  • Угадай - ваше предположение, какой может быть курс. Если не указано, предполагается, что оно составляет 10%.

Чтобы превратить функцию RATE в формулу расчета CAGR, вам необходимо указать аргументы 1 st (nper), 3 rd (pv) и 4 th (fv) следующим образом:

= СТАВКА ( n ,, - BV , EV )

Напомню, что:

  • BV - начальная стоимость инвестиции
  • EV - конечная стоимость инвестиции
  • n - количество периодов

Примечание. Обязательно укажите начальное значение (BV) как отрицательное число , иначе формула CAGR вернет # ЧИСЛО! ошибка.

Для расчета скорости роста соединения в этом примере формула имеет следующий вид:

= СТАВКА (5 ,, - B2, B7)

Чтобы избавить себя от необходимости вычислять количество периодов вручную, вы можете использовать функцию СТРОКА, вычисляющую его за вас:

= СТАВКА (СТРОКА (B7) -СТРОКА (B2) ,, - B2, B7)

CAGR формула 5: функция IRR

Функция IRR в Excel возвращает внутреннюю норму прибыли для ряда денежных потоков, которые происходят через регулярные промежутки времени (т. е. дни, месяцы, кварталы, годы и т. д.). Он имеет следующий синтаксис:

IRR (значения; [предположить])

Где:

  • Значения - диапазон чисел, представляющих денежные потоки. Диапазон должен содержать как минимум одно отрицательное и как минимум одно положительное значение.
  • [Угадай] - необязательный аргумент, который представляет ваше предположение, какой может быть норма прибыли. Если опущено, используется значение по умолчанию 10%.

Поскольку функция Excel IRR не совсем предназначена для расчета скорости роста соединения, вам придется изменить форму исходных данных следующим образом:

  • Начальную стоимость инвестиций следует вводить как отрицательное число.
  • Конечная стоимость инвестиций - положительное число.
  • Все промежуточные значения - нули.

После реорганизации исходных данных вы можете рассчитать CAGR по этой простой формуле:

= IRR (B2: B7)

Где B2 - начальная стоимость, а B7 - конечная стоимость инвестиций:

Вот как можно рассчитать CAGR в Excel. Если вы внимательно следили за примерами, вы могли заметить, что все 4 формулы возвращают одинаковый результат - 17.61%. Чтобы лучше понять и, возможно, реконструировать формулы, вы можете загрузить образец таблицы расчета CAGR. Благодарю вас за чтение и надеюсь увидеть вас в нашем блоге на следующей неделе!

Вас также может заинтересовать

Как рассчитать процент в Excel - примеры процентных формул

В этом руководстве вы познакомитесь с быстрым способом расчета процентов в Excel, найдете базовую формулу процента и еще несколько формул для расчета увеличения в процентах, процентов от общей суммы и т. Д.

Расчет процентов полезен во многих сферах жизни, будь то чаевые в ресторане, комиссия реселлера, ваш подоходный налог или процентная ставка. Допустим, вам посчастливилось получить скидку 25% на новый плазменный телевизор. Это хорошая сделка? И сколько в итоге придется заплатить?

В этом руководстве мы собираемся изучить несколько методов, которые помогут вам эффективно вычислять процент в Excel, и выучить базовые процентные формулы, которые избавят вас от догадок при расчетах.

Базовый процент

Термин «процент» происходит от латинского per centum , что означает «на сотню». Как вы, наверное, помните из школьного урока математики, процент - это дробь от 100, которая вычисляется путем деления числителя на знаменатель и умножения результата на 100.

Основная процентная формула выглядит следующим образом:

(Часть / Целое) * 100 = Процент

Например, если у вас было 20 яблок и вы дали 5 своим друзьям, сколько вы дали в процентном отношении? Выполнив несложный расчет = 5/20 * 100 вы получите ответ - 25%.

Так обычно вычисляются проценты в школе и в повседневной жизни. Подсчитать процент в Microsoft Excel еще проще, поскольку Excel выполняет некоторые операции за вас автоматически в фоновом режиме.

К сожалению, не существует универсальной формулы Excel для расчета процентов, которая охватывала бы все возможные сценарии. Если вы спросите кого-нибудь: «Какую формулу процентов я использую, чтобы получить желаемый результат?», Скорее всего, вы получите ответ типа «Ну, это зависит от того, какого именно результата вы хотите достичь. «

Итак, позвольте мне показать вам несколько простых формул для вычисления процентов в Excel, таких как формула процентного увеличения, формула для вычисления процентов от общего числа и многое другое.

Базовая процентная формула Excel

Основная формула для расчета процента в Excel:

Часть / Итого = Процент

Если вы сравните ее с основной математической формулой для процента, вы заметите, что в формуле для процента в Excel отсутствует часть * 100. При вычислении процента в Excel вам не нужно умножать полученную дробь на 100, поскольку Excel делает это автоматически, когда процентный формат применяется к ячейке.

А теперь давайте посмотрим, как можно использовать процентную формулу Excel для реальных данных. Предположим, у вас есть количество « заказанных товаров » в столбце B и « доставленных товаров » в столбце C. Чтобы узнать процент доставленных товаров, выполните следующие действия:

  • Введите формулу = C2 / B2 в ячейку D2 и скопируйте ее в нужное количество строк.
  • Нажмите кнопку Percent Style (вкладка Home > Number group), чтобы отобразить полученные десятичные дроби в виде процентов.
  • Не забудьте при необходимости увеличить количество десятичных знаков, как описано в разделе «Подсказки по процентному соотношению».
  • Готово! 🙂

Та же последовательность шагов должна быть выполнена при использовании любой другой процентной формулы в Excel.

В следующем примере в столбце D отображается округленный процент доставленных товаров без десятичных знаков.

Расчет процента от суммы в Excel

Фактически, приведенный выше пример является частным случаем вычисления процентов от общей суммы.Теперь давайте рассмотрим еще несколько примеров, которые помогут вам быстро вычислить процент от общей суммы в Excel для различных наборов данных.

Пример 1. Итог находится в конце таблицы в определенной ячейке

Очень распространенный сценарий - сумма в одной ячейке в конце таблицы. В этом случае процентная формула будет аналогична той, которую мы только что обсудили, с той лишь разницей, что ссылка на ячейку в знаменателе является абсолютной ссылкой (со знаком $).Знак доллара фиксирует ссылку на заданную ячейку, поэтому она никогда не меняется независимо от того, куда копируется формула.

Например, если у вас есть некоторые значения в столбце B и их сумма в ячейке B10, вы должны использовать следующую формулу для вычисления процентов от общей суммы: = B2 / $ B $ 10

Вы используете относительную ссылку на ячейку B2, потому что хотите, чтобы она изменялась при копировании формулы в другие ячейки столбца B. Но вы вводите $ B $ 10 в качестве абсолютной ссылки на ячейку, потому что вы хотите оставить знаменатель фиксированным на B10. при автоматическом заполнении формулы до строки 9.

Наконечник. Чтобы сделать знаменатель абсолютной ссылкой, введите знак доллара ($) вручную или щелкните ссылку на ячейку в строке формул и нажмите F4.

На снимке экрана ниже показаны результаты, возвращаемые формулой, столбец процентов от общего числа отформатирован как процент с отображением двух десятичных знаков.

Пример 2. Часть итога находится в нескольких строках

В приведенном выше примере предположим, что у вас есть несколько строк для одного и того же продукта, и вы хотите знать, какая часть общей суммы приходится на все заказы этого конкретного продукта.

В этом случае вы можете использовать функцию СУММЕСЛИ, чтобы сначала сложить все числа, относящиеся к данному продукту, а затем разделить это число на сумму, например:

= СУММЕСЛИ (диапазон, критерий, сумма_диапазон) / всего

Учитывая, что столбец A содержит все названия продуктов, столбец B перечисляет соответствующие количества, ячейка E1 представляет собой название продукта, который вас интересует, а сумма находится в ячейке B10, ваша реальная формула может выглядеть примерно так:

= СУММЕСЛИ (A2: A9, E1, B2: B9) / $ B $ 10

Естественно, вы можете указать название продукта прямо в формуле, например:

= СУММЕСЛИ (A2: A9, «вишня», B2: B9) / $ B $ 10

Если вы хотите узнать, какую часть общей суммы составляют несколько различных продуктов, сложите результаты, возвращаемые несколькими функциями СУММЕСЛИ, а затем разделите это число на общую сумму.Например, по следующей формуле рассчитывается процент вишни и яблок:

= (СУММЕСЛИ (A2: A9, «вишня», B2: B9) + СУММЕСЛИ (A2: A9, «яблоки», B2: B9)) / $ B $ 10

Для получения дополнительной информации о функции СУММ, пожалуйста, ознакомьтесь со следующими руководствами:

Как рассчитать процентное изменение в Excel

Из всех формул для расчета процента в Excel формула процентного изменения, вероятно, является той, которую вы будете использовать чаще всего.

Формула Excel для процентного изменения (процентное увеличение / уменьшение)

Чтобы вычислить процентное изменение между значениями A и B, используйте следующую формулу:

Процентное изменение = (B - A) / A

При применении этой формулы к реальным данным важно правильно определить, какое значение - A, а какое - B.Например, вчера у вас было 80 яблок и как у вас 100, что означает, что теперь у вас на 20 яблок больше, чем раньше, что на 25% больше. Если у вас было 100 яблок, а теперь у вас их 80, ваше количество яблок уменьшилось на 20, то есть на 20%.

Учитывая вышеизложенное, наша формула Excel для процентного изменения принимает следующую форму:

(новое значение - старое значение) / старое значение

А теперь давайте посмотрим, как вы можете использовать эту формулу процентного изменения (также известную как формула процентного увеличения Excel) в ваших таблицах.

Пример 1. Расчет процентного изменения между 2 столбцами

Предположим, у вас есть цены за последний месяц в столбце B и цены за этот месяц в столбце C. Затем вы можете ввести следующую формулу в ячейку D2 для расчета процентного изменения в таблице Excel:

= (C2-B2) / B2

Эта формула процентного изменения вычисляет процентное увеличение / уменьшение в этом месяце (столбец C) по сравнению с прошлым месяцем (столбец B).

После копирования формулы в другие строки не забудьте нажать кнопку Percent Style на ленте, чтобы отобразить десятичные дроби в процентах, и вы получите результат, аналогичный тому, который вы видите на снимке экрана ниже.В этом примере положительные проценты, показывающие процентное увеличение, отформатированы обычным черным цветом, а отрицательные проценты (процентное уменьшение) отформатированы красным цветом с использованием техники, описанной в этом совете.

Пример 2. Расчет процентного изменения между строками

Если у вас есть один числовой столбец, например столбец C, в котором указаны еженедельные или ежемесячные продажи, вы можете рассчитать процентное изменение по следующей формуле:

= (C3-C2) / C2

Где C2 - это 1 st , а C3 - 2 и ячейка с данными.

Примечание. Обратите внимание, что вы должны пропустить первую строку с данными и поместить свою процентную формулу Excel в ячейку 2 и , которой в данном примере является D3.

После применения процентного формата к столбцу с формулой процентного изменения вы получите следующий результат:

Если вы хотите рассчитать процентное изменение по сравнению с определенной ячейкой, вам необходимо исправить ссылку на эту ячейку, используя абсолютную ссылку на ячейку со знаком $, e.г. $ C $ 2.

Например, вот формула процентного изменения Excel, которая вычисляет процентное увеличение / уменьшение для каждого месяца по сравнению с январем (C2):

= (C3- 2 канадских доллара) / 2 канадских доллара

Когда вы перетаскиваете формулу вниз, чтобы скопировать ее в другие ячейки, абсолютная ссылка ($ C $ 2) останется прежней, а относительная ссылка (C3) изменится на C4, C5 и так далее.

Расчет суммы и итога в процентах

Как вы только что видели, вычислять проценты в Excel легко, как и вычислять суммы и итоги, если вы знаете проценты.

Пример 1. Рассчитать сумму по итогу и в процентах

Предположим, вы покупаете новый ноутбук за 950 долларов, и они взимают НДС в размере 11% с этой покупки. Вопрос в том, сколько вы должны заплатить сверх чистой цены? Другими словами, что составляет 11% от 950 долларов?

Поможет следующая формула:

Итого * Процент = Сумма

Предполагая, что общее значение находится в ячейке A2, а процент - в B2, приведенная выше формула превращается в простую формулу = A2 * B2 и возвращает 104.50

Помните, когда вы вводите число, за которым следует знак процента (%) в Excel, число интерпретируется как сотая часть его значения. Например, 11% фактически сохраняется как 0,11, и Excel использует это базовое значение во всех формулах и расчетах.

Другими словами, формула = A2 * 11% эквивалентна = A2 * 0,11 . Естественно, вы можете использовать десятичное число, соответствующее процентному соотношению, непосредственно в формуле, если это лучше подходит для ваших рабочих листов.

Пример 2. Подсчет итога по сумме и процентам

Например, ваш друг предложил вам свой старый компьютер за 400 долларов, что на 30% ниже первоначальной цены. Вы хотите знать, какова была первоначальная цена.

Поскольку 30% - это скидка, вы сначала вычитаете ее из 100%, чтобы узнать, какой процент вы действительно должны заплатить (100% - 30% = 70%). Теперь вам нужна формула для расчета исходной цены, т.е. найти число, 70% которого равно 400.

Формула выглядит следующим образом:

Сумма / Процент = Итого

Применительно к реальным данным он может принимать любую из следующих форм:

= A2 / B2 или = A2 / 0.7 или = A2 / 70%

Как увеличить / уменьшить число на процент

Сезон отпусков приближается, и это указывает на изменение ваших обычных еженедельных расходов. Вы можете рассмотреть различные варианты, чтобы определить оптимальное еженедельное пособие.

Чтобы увеличить сумму на процент, используйте эту формулу:

= Сумма * (1 +%)

Например, формула = A1 * (1 + 20%) увеличивает значение в ячейке A1 на 20%.

До уменьшить сумму на процент:

= Сумма * (1 -%)

Например, формула = A1 * (1-20%) уменьшает значение в ячейке A1 на 20%.

В нашем примере, если A2 - ваши текущие расходы, а B2 - процент, на который вы хотите увеличить или уменьшить эту сумму, вот формулы, которые вы должны ввести в ячейку C2:

Увеличение в процентах: = A2 * (1 + B2)

Уменьшить на процент: = A2 * (1-B2)

Как увеличить / уменьшить весь столбец на процент

Предположим, у вас есть столбец чисел, который вы хотите увеличить или уменьшить на определенный процент, и вы хотите, чтобы обновленные числа были в том же столбце, а не добавляли новый столбец с формулой.

Вот 5 быстрых шагов для решения этой задачи:

  1. Введите все числа, которые вы хотите увеличить или уменьшить в каком-либо столбце, столбец B в этом примере.
  2. В пустой ячейке введите одну из следующих формул:

    Увеличение в процентах: = 1 + 20%

    Уменьшить на процент: = 1-20%

    Естественно, вы можете заменить 20% в приведенных выше формулах на желаемый процент.

  3. Выделите ячейку с формулой (в нашем случае C2) и скопируйте ее, нажав Ctrl + C.
  4. Выберите диапазон ячеек, который вы хотите изменить, щелкните выделение правой кнопкой мыши и выберите Специальная вставка…
  5. В диалоговом окне Специальная вставка выберите значений в разделе Вставить , Умножить в разделе Операция и нажмите ОК .

И вот результат - все числа в столбце B увеличены на 20%:

Таким же образом вы можете умножить или разделить столбец чисел на определенный процент.Просто введите желаемый процент в пустую ячейку и следуйте инструкциям выше.

Вот как вы рассчитываете процент в Excel. И даже если работа с процентами никогда не была вашим любимым видом математики, с помощью этих основных процентных формул вы можете заставить Excel делать эту работу за вас. На сегодня все, спасибо, что прочитали!

Вас также может заинтересовать

Дискретные формулы компаундирования

Единый платеж

Составная сумма

Преобразует одиночный платеж (или значение) сегодня в будущее значение.

F = P [(1 + i) n ] (1)

где

F = будущая стоимость

P = разовый платеж сегодня

i = процентная ставка за период

n = количество периодов

Пример - будущее значение начальной суммы, полученной сегодня

Сегодня получено 5000 . Рассчитайте будущую стоимость этой суммы через 7 лет с процентной ставкой 5% .

Можно рассчитать процентную ставку

i = (5%) / / 100%)

= 0,05

Можно рассчитать будущую стоимость суммы

F = (5000) [( 1 + 0,05) 7 ]

= 7036

Будущая стоимость - онлайн-калькулятор

Обратите внимание, что процентная ставка в % используется в калькуляторе, а не в уравнении.

Текущая стоимость (или стоимость)

Преобразует будущий платеж (или стоимость) в настоящее сусло (или стоимость).

P = F [(1 + i) -n ] (2)

где

P = текущая стоимость

F = единый будущий платеж

i = скидка ставка за период

n = количество периодов

Пример - приведенная стоимость будущего платежа

Платеж в размере 5000 получен через 7 лет .Рассчитайте текущую стоимость (или стоимость) этого платежа со ставкой скидки 5% .

Можно рассчитать учетную ставку

i = (5%) / / 100%)

= 0,05

Можно рассчитать текущую стоимость будущего платежа

F = (5000) [ (1 + 0,05) -7 ]

= 3553

Текущая стоимость - онлайн-калькулятор

Обратите внимание, что ставка дисконтирования в % используется в калькуляторе, а не в уравнении.

Единая серия

Сумма сложного дохода - аннуитет

Преобразует единую сумму (аннуитет) в будущую стоимость.

F = A [((1 + i) n - 1) / i] (3)

, где

F = будущая стоимость

A = единообразная сумма за период

i = процентная ставка

n = количество периодов

Пример - приведенная стоимость унифицированных платежей

Единая сумма 5000 выплачивается каждый год в течение 7 лет .Рассчитайте будущую стоимость этой суммы с процентной ставкой 5% .

Можно рассчитать процентную ставку

i = (5%) / / 100%)

= 0,05

Можно рассчитать будущую стоимость аннуитета

F = 5000 [((1 + 0,05) 7 - 1) / 0,05]

= 40710

Сложная сумма - онлайн-калькулятор

Обратите внимание, что процентная ставка ín % в калькуляторе - не в уравнении.

Амортизационный фонд

Преобразует конкретную будущую стоимость в единые суммы (аннуитеты) .

A = F [i / ((1 + i) n - 1)] (4)

, где

A = единообразная сумма за период

F = будущая стоимость

i = процентная ставка

n = количество периодов

Пример - унифицированные платежи, необходимые для достижения будущей стоимости

Будущая стоимость 7 лет аннуитета составляет 5000 .Рассчитайте необходимый аннуитет для достижения этого значения с процентной ставкой 5% .

Можно рассчитать процентную ставку

i = (5%) / / 100%)

= 0,05

Можно рассчитать единые платежи (аннуитет)

A = 5000 [0,05 / ((1 + 0,05) 7 - 1)]

= 614

Фонд погашения - онлайн-калькулятор

Обратите внимание, что процентная ставка в % используется в калькуляторе, а не в уравнение.

Текущая стоимость

Преобразует единую сумму (аннуитет) в текущую стоимость .

P = A [((1 + i) n - 1) / (i (1 + i) n )] (5)

где

P = текущее значение

A = сумма за период процентов

i = ставка дисконтирования

n = периоды дисконтирования

Пример - приведенная стоимость унифицированных сумм

Проект 7 лет - это 5000 .Рассчитайте приведенную стоимость с процентной ставкой 5% .

Можно рассчитать процентную ставку

i = (5%) / / 100%)

= 0,05

Можно рассчитать текущую стоимость единообразных сумм

P = 5000 [(( 1 + 0,05) 7 - 1) / (0,05 (1 + 0,05) 7 )]

= 28932

Текущая стоимость или стоимость - онлайн-калькулятор

Обратите внимание, что ставка дисконтирования % используется в калькуляторе, а не в уравнении.

Возврат капитала

Преобразует приведенную стоимость в единую сумму (аннуитет).

A = P [(i (1 + i) n ) / ((1 + i) n - 1)] (6)

где

P = текущее значение

A = сумма за процентный период

i = процентная ставка

n = периоды дисконтирования

Возврат капитала - онлайн-калькулятор

Обратите внимание, что используется процентная ставка % в калькуляторе - не в уравнении.

CAGR - Совокупный годовой темп роста

Совокупный годовой темп роста (CAGR) - действительно важный инструмент для консультанта, позволяющий сравнивать долгосрочные сценарии роста.

Что такое совокупный годовой темп роста (CAGR)?

Совокупный годовой темп роста (CAGR) - это средняя скорость, с которой стоимость (например, бизнес или инвестиции) увеличивается за определенный период времени.

Почему CAGR важен в консалтинге?

Консультанты часто любят сравнивать темпы роста текущего года с темпами роста следующего года (см. Сравнительный анализ).Взгляд на годовые темпы роста часто подвергается влиянию нескольких разовых факторов. Кроме того, консультантам часто приходится работать с планами роста, которые включают целей компании на будущее (обычно на следующие 5 лет).

Эти планы роста, в свою очередь, состоят из набора мер, каждая из которых оказывает различное воздействие в разные годы. Очень часто задают вопрос: насколько компания вырастет на в среднем на ? Чтобы ответить на этот вопрос, вам нужно использовать CAGR.CAGR показывает годовой рост индикатора, если бы он рос стабильными темпами г / г.

CAGR в Case Interviews

Скорее всего, вас не попросят рассчитать CAGR в ходе собеседования, но зная, что это значит, а также , зная формулу , вы сможете пройти через большинство случаев во время интервью.

Как рассчитать CAGR: Формула

Формула:

В качестве простого способа проверить свои результаты во время подготовки кейса вы можете использовать калькулятор CAGR.

Пример и расчет

Ваш интервьюер дает следующий график продаж клиентов за последние 7 лет и хочет, чтобы вы нашли их CAGR.

Объем продаж в 2006 году составил 0,8 миллиона евро (начальная стоимость). В 2013 году, по прошествии 7 лет, объем продаж увеличился до 1,8 миллиона евро.

Это означает, что если с 2006 года компания ежегодно росла со скоростью ~ 12% (12,28%), продажи в 2013 году составили бы 1,8 миллиона евро.

Приложения и дополнительные возможности

  • Рассчитать средний рост разовой инвестиции
  • Сравнить инвестиции
  • Отслеживание эффективности различных бизнес-показателей или компаний
  • Выявление конкурентных слабых и сильных сторон

Разница между CAGR и IRR

Как внутренняя норма доходности (IRR) , так и CAGR могут измерять эффективность инвестиций.Однако IRR более гибок и его гораздо сложнее рассчитать. В то время как вы можете рассчитать CAGR вручную, для IRR в идеале нужен финансовый калькулятор, Excel или система учета портфеля. IRR используется для оценки более сложных инвестиций и проектов с разным притоком и оттоком денежных средств.

Ограничения и полезные правила

  • CAGR ничего не говорит вам о реальных продажах за годы между начальным годом и концом
  • Теоретически не исключено, что весь рост произойдет только в первый или последний год
  • Хотя это в некоторой степени является частью того, что требуется при использовании CAGR (чтобы сделать рост сопоставимым), это также ограничение: две инвестиции могут иметь точно и тот же CAGR , но одна из них может быть намного более благоприятной, поскольку рост составляет быстрее раньше на .NPV (чистая приведенная стоимость) является ключом к пониманию этой концепции.
  • Разделив 72 на CAGR, вы примерно получите количество лет для удвоения стартовых доходов (Правило 72).
  • CAGR
  • чаще всего используются для периодов от 3 до 7 лет. Для периодов более 10 лет CAGR считается подходящим только в особых случаях, поскольку на этом этапе он начинает маскировать суб-тренды.

CAGR в Excel

Вы можете рассчитать CAGR, используя функцию RRI , показанную ниже:

Основные выводы

  • CAGR - это теоретический устойчивый темп роста за определенный период времени
  • CAGR составляет , а не , среднее значение из год к году Темпы роста
  • Он не отражает максимумы и минимумы и может замаскировать под-тенденции за период
  • Вы, вероятно, встретите CAGR на графиках, которые вам выдаст интервьюер, но вам вряд ли придется рассчитывать CAGR самостоятельно.

Лабораторное ручное упражнение № 9

Приведенная выше таблица 1 рассчитает размер популяции (N) через определенный промежуток времени (t).Все, что вам нужно сделать, это указать начальную численность популяции (N o ), скорость роста (r) и продолжительность времени (t). Константа (e) уже введена в уравнение. Это основание натурального логарифма (приблизительно 2,71828). Скорость роста (r) и время (t) должны быть выражены в одной и той же единице времени, например, в годах, днях, часах или минутах. Для людей темп роста населения рассчитан на один год. Если численность населения выросла с 1000 до 1040 за один год, то процентное увеличение или годовой темп роста составит 40/1000 x 100 = 4 процента.Другой способ показать этот естественный темп роста - вычесть коэффициент смертности из коэффициента рождаемости в течение одного года и преобразовать его в процентное соотношение. Если коэффициент рождаемости в течение одного года составляет 52 на 1000, а уровень смертности - 12 на 1000, то годовой прирост этого населения составляет 52 - 12 = 40 на 1000. Естественный прирост для этого населения составляет 40/1000 x 100 = 4%. Он называется естественным приростом, потому что он основан только на уровне рождаемости и смертности, а не на иммиграции или эмиграции. Скорость роста бактериальных колоний выражается в минутах, поскольку бактерии могут делиться бесполым путем и удваивать свое общее количество каждые 20 минут.В случае вольфии (самое маленькое цветущее растение в мире и любимый организм мистера Вольфии) рост популяции выражается в днях или часах.
Каждое растение вольфия имеет форму микроскопического зеленого футбольного мяча с плоской вершиной. Среднее отдельное растение азиатского вида W. globosa или столь же мелкого австралийского вида W. angusta достаточно маленькое, чтобы пройти через ушко обычной швейной иглы, а 5000 растений легко поместятся в наперсток.

В мире существует более 230 000 видов описываемых цветковых растений, и они варьируются по размеру от миниатюрных альпийских ромашек высотой всего несколько дюймов до массивных эвкалиптовых деревьев в Австралии более 300 футов (100 м) в высоту. Но наименьшее Бесспорным мире цветущие растения принадлежат к роду вольфии , минутная безродных растения, которые плавают на поверхности спокойных ручьев и прудов. Два самых мелких вида - азиатский W.globosa и австралийский W. angusta . Среднее индивидуальное растение имеет длину 0,6 мм (1/42 дюйма) и ширину 0,3 мм (1/85 дюйма). Он весит около 150 микрограммов (1/1

унции), или приблизительный вес 2–3 зерен поваренной соли. Одно растение в 165 000 раз короче самого высокого австралийского эвкалипта ( Eucalyptus regnans ) и в семь триллионов раз легче самой массивной секвойи-гиганта ( Sequoiadendron giganteum ).


Скорость роста для Wolffia microscopica может быть рассчитана исходя из времени удвоения 30 часов = 1.25 дн. В приведенном выше уравнении роста населения (N = N o e rt ), когда rt = 0,695, первоначальная начальная популяция (N o ) удвоится. Поэтому простое уравнение (rt = 0,695) можно использовать для решения относительно r и t. Скорость роста (r) может быть определена простым делением 0,695 на t (r = 0,695 / t). Поскольку время удвоения (t) для Wolffia microscopica составляет 1,25 дня, скорость роста (r) составляет 0,695 / 1,25 x 100 = 56 процентов. Попробуйте ввести следующие числа в приведенную выше таблицу: N o = 1, r = 56 и t = 16.Примечание. При использовании калькулятора значение r всегда следует выражать в виде десятичной дроби, а не в процентах. Общее количество растений вольфии через 16 дней составляет 7 785 штук. Этот экспоненциальный рост показан на следующем графике, где размер популяции (ось Y) сравнивается со временем в днях (ось X). Экспоненциальный рост дает характерную J-образную кривую, потому что популяция продолжает удваиваться, пока она постепенно не изгибается вверх и превращается в очень крутой наклон. Если бы график был построен логарифмически, а не экспоненциально, он предполагал бы прямую линию, идущую вверх слева направо.

Шестнадцать дней экспоненциального роста Wolffia microscopica .

У растений вольфии самый быстрый рост населения среди представителей королевства Плантаэ. В оптимальных условиях одно растение индийского вида Wolffia microscopica может размножаться вегетативно, давая почки каждые 30 часов.Одно минутное растение математически может дать начало одному нониллиону растений или 1 x 10 30 (один с 30 нулями) примерно за четыре месяца со сферическим объемом, примерно равным размеру планеты Земля! Примечание: это чисто математический прогноз, и в действительности он никогда не может произойти!

На следующем рисунке показано сравнение размера одноминутного растения вольфия, примерно промежуточного между молекулой воды и планетой Земля!

Если молекула воды представлена ​​числом 10 0 , то растение вольфия примерно на 10 20 больше, чем молекула воды.Земля примерно на 10 20 единиц энергии больше, чем вольфия, или на 10 40 единиц энергии больше, чем молекула воды.

2. Рост населения в геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия - это упрощенный способ показать экспоненциальный рост населения. Начиная с одной пары, предположим, что у каждой девочки 4 ребенка (2 мальчика и 2 девочки). В следующей таблице сравнивается рост населения в 7 поколениях.Первоначальная пара имеет 4 детей, двое из которых девочки, которые рождают 8 детей (2 x 4). Четверо из 8 детей - девочки, от которых рождается 16 детей (4 x 4) и т. Д. Это экспоненциальный рост, при котором население удваивается с каждым поколением. Население 7-го поколения составляет 2 7 или 128 человек.

Номер

2

4

8

16

32

64

128

Поколение

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Английский священнослужитель и экономист Томас Р.Мальтус указал на геометрический рост населения в 1798 году. В своем трактате о росте населения он заявил, что население увеличивается геометрически, в то время как мировые запасы продовольствия увеличиваются арифметически. Арифметические прогрессии увеличиваются на добавление одной и той же суммы в каждом поколении, например, 2 - 12 - 22 - 32 - 42 - 52 ... В предыдущем примере числовая последовательность увеличивается на 10 в каждом поколении. Мальтус пришел к выводу, что снабжение продовольствием никогда не поспеет за ростом населения, а неизбежными последствиями роста населения являются голод, эпидемии и войны.Хотя некоторые биологи и по сей день разделяют пессимистический прогноз Мальтуса, большинство экспертов сходятся во мнении, что рост человеческой популяции намного сложнее простых геометрических прогрессий. Было четко задокументировано, что когда уровень жизни и валовой национальный продукт (ВНП) страны повышаются, темпы роста ее населения фактически снижаются. Фактически, некоторые высокоразвитые страны с очень высоким ВНП фактически достигли нулевого прироста населения. Это также связано с экономическим и культурным давлением.Одним из лучших примеров небольшой страны с высоким ВНП и низким темпом роста населения является Япония. Темпы роста населения США в настоящее время составляют менее одного процента (по данным на 2000 год). Некоторые страны, такие как Китай, предлагают сильные экономические стимулы иметь только одного ребенка в семье.

Есть дополнительные аргументы против мрачного прогноза Мальтуса. Используя современные методы ведения сельского хозяйства (Зеленая революция), некоторые высокоразвитые страны увеличили свои запасы продовольствия геометрически; однако, учитывая ограниченное количество пахотных земель и давление урбанизации, этот уровень продуктивности не может сохраняться бесконечно.По состоянию на 2000 год избытка пищи достаточно, чтобы накормить весь мир. Проблема заключается в раздаче продуктов питания голодающим в отдаленных регионах мира, а не в поставках. Еще неизвестно, будет ли в следующем столетии излишек продовольствия. Возможно, Мальтус прав в конечном счете.

Применение геометрической прогрессии к плодовым мушкам ( Drosophila melanogaster ) дает астрономические числа за относительно короткий период времени.Начиная с 2 плодовых мушек, предположим, что каждая самка откладывает 100 яиц каждые две недели (25 поколений в год). Сколько мух будет у 25-го поколения к концу года?

Номер

2

100

5000

250000

12500000

1.19 х 10 41

Поколение

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(25)

Чтобы оценить количество мух в 25-м поколении, предположим, что мухи собраны вместе от 1000 до кубического дюйма.Такое количество мух заполнило бы шар диаметром 96 миллионов миль, превышающий расстояние между Землей и Солнцем! Конечно, это чисто теоретически. Естественные управляющие силы природы предотвратят этот ошеломляющий взрыв плодовых мух. Фактически, существует правило природы, которое гласит: «Выживаемость обратно пропорциональна плодовитости ». Другими словами, животные с высокой продуктивностью потомства (высокой плодовитостью) имеют низкую выживаемость среди своего потомства.У червей, насекомых и рыб, откладывающих тысячи яиц, только несколько яиц достигают зрелости.

Следующие примеры роста населения с шестью детьми на пару сравнивают времена поколения в 20 и 30 лет:

2 --------------- 6 --------------- 18 --------------- 54
(20 лет) (20 лет) (20 лет)

80 человек
через 60 лет

2 --------------- 6 --------------- 18
(30 лет) (30 лет)

26 человек
через 60 лет

При 20-летнем интервале между поколениями общее количество людей в конце 60-летнего возраста составляет 80 (2 + 6 + 18 + 54).При 30-летнем интервале между поколениями общее количество людей в конце 60-летнего периода составляет 26. Увеличение интервала между поколениями с 20 до 30 лет снижает прирост населения с 80 до 26 в течение 60-летнего периода, то есть процентное снижение на 67,5%. . Более длительный интервал между поколениями значительно замедляет рост популяции.


3. Прирост населения на основе годового прироста: I = rN

Большая биология учебники объясняют следующее классическое уравнение годового увеличения Население: I = rN.I = ежегодный прирост населения, r = годовой темп прироста и N = начальный размер популяции. Если первоначальная численность населения в 1000 человек вырастет на 4% в течение одного года, население увеличится на 40 в течение года (I = 1000 x 0,04 = 40). Общая популяция (N) в конце года будет теперь 1000 + 40 = 1040. Начиная с одной модели Wolffia microscopica и используя скорость роста 56 процентов (в день), прирост (I) для первого поколения составляет 0,56 X 1 = 0,56, и теперь общая численность населения равна 1.56. Увеличение (I) для второго поколения составляет 0,56 X 1,56 = 0,87, а общая численность населения сейчас составляет 2,43. В следующей таблице и графике показано увеличение (I) и общая популяция для 10 поколений W. microscopica :

Поколение

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

# 5

№ 6

№ 7

№ 8

№ 9

№ 10

Увеличение (I)

0.56

0,87

1,36

2,12

3,30

5,16

8,05

12.55

19,58

30,55

Численность населения

1,56

2,43

3,79

5.91

9,21

14,37

22,42

34,97

54,55

85,10

Экспоненциальный рост популяции (J-образная кривая) на основе I = rN для 10 поколений Wolffia microscopica .Чтобы получить J-образную кривую, прирост (I) для каждого поколения (исходя из 56-процентного темпа роста) добавляется к последовательным размерам популяции для каждого поколения.

Если эти значения популяции вольфии нанесены арифметически для десяти последовательных поколений, вы получите J-образную кривую экспоненциального роста, подобную графику, показанному для роста популяции вольфии с использованием уравнения N = n o e rt .Разница между этими двумя уравнениями заключается в том, что одно показывает увеличение (I) в год при постоянной скорости роста (r) 0,56, а другое показывает окончательную численность населения (N) с постоянной скоростью роста (r) 0,56 в расширенном масштабе. в течение заданного периода времени (t). Используя уравнение I = rN, вы должны добавить увеличение для каждого поколения к общей численности населения, чтобы получить J-образную кривую. Уравнение годового прироста (I = rN) модифицируется, чтобы получить уравнение логистического роста, описанное в следующем параграфе.


4. Логистический рост населения: I = rN (K - N / K)

Рост естественного населения более точно описывается уравнением логистического роста, а не уравнением экспоненциального роста. При логистическом росте населения быстрый рост численности достигает пика, когда популяция достигает своей вместимости. Уравнение для этого типа роста содержит коэффициент несущей способности (K). Переносимость (K) может быть определена как максимальное количество популяции определенного вида, которое может поддерживаться данной экосистемой.Годовой прирост популяции можно показать уравнением: I = rN (KN / K), где I = годовой прирост популяции, r = годовой темп прироста, N = размер популяции, а K = несущий вместимость. Логистический рост популяции дает характерную S-образную или сигмовидную кривую, потому что популяция быстро увеличивается до тех пор, пока не достигнет предельной емкости, где она начинает замедляться и стабилизироваться. Логистический рост популяции дрожжевых клеток показан на следующем графике, где размер популяции (ось Y) сравнивается со временем в часах (ось X).Когда рост дрожжевой популяции достигает предельной емкости (чуть более 500), он начинает замедляться и замедляться.

Восемнадцать часов логистического роста дрожжевых клеток.

Луга среди соснового леса пондероза на плато Кайбаб, Аризона.

Когда размер популяции равен пропускной способности (N = K), скорость роста равна нулю (I = 0) или нулевому приросту населения.Когда размер популяции превышает пропускную способность (N> K), I становится отрицательным числом, и популяция уменьшается. В случае неконтролируемого роста популяции оленей с недостаточным количеством хищников популяция резко сокращается, поскольку чрезмерно заросшая растительность просто не может поддерживать высокую долю оленей. Следовательно, олени умирают от голода и болезней, и популяция быстро сокращается. Этот сценарий действительно произошел на плато Кайбаб в северной Аризоне между 1907 и 1939 годами.В 1907 году поголовье оленей было необычно низким - всего 4000 голов. В то время грузоподъемность составляла 30 000 человек, поэтому была развернута массовая кампания против естественных врагов оленей. Между 1907 и 1923 годами естественные хищники оленей (горные львы, волки и койоты) были уничтожены охотниками с целью увеличения популяции оленей. Как показывает следующий график, популяция оленей быстро увеличилась до 100000 к 1924 году, но затем быстро вымерла до 10000 к 1939 году.Из-за чрезмерного выпаса чрезмерного количества оленей в 1939 году вместимость этого региона сократилась примерно до 10 000, и соответственно сократилась популяция оленей.

Популяция оленей на плато Кайбаб в период 1905-1940 гг. Первоначальная вместимость оленей в 1907 г. составила 30 000 голов, но в 1924 г. численность оленей выросла до 100 000 особей. После 1924 года поголовье оленей быстро сократилось до 10 000 в 1939 году.

5. Рост населения по сравнению со сложным процентом

100 долл. США ежегодно
на 10 лет под 6%

N = N o (1 + r) n
N o = 100, n = 10, r = 0,06

N = 179,08 доллара США

100 долл. США ежемесячно
на 10 лет под 6%

N = N o (1 + r / q) nq
N o = 100, n = 10, r = 0.06, д = 12

N = 181,94 долл. США

100 $ ежедневно
на 10 лет под 6%

N = N o (1 + r / q) nq
N o = 100, n = 10, r = 0,06, q = 365

N = 182,20 долл. США

100 долл. США непрерывно
на 10 лет под 6% **

N = N o e rt
N o = 100, n = 10, r = 0.06, т = 10

N = 182,21 доллара США

Таблица 2A. Сложные проценты против экспоненциального роста населения.

** Это та же формула, которая используется для расчета прироста населения.

начальная сумма

сложный
суточный

составной
непрерывно

непрерывно
минус ежедневно

$ 100

182 руб.20

182,21 долл. США

0,01 $

$ 1000

1822,03 долл. США

$ 1822,12

0,09 $

$ 10000

18220 долл. США.29

$ 182 21,19

$ 0.90

$ 100000

$ 1822 202.90

$ 182211,88

$ 8.98

Таблица 2B.Деньги начисляются ежедневно по сравнению с непрерывным начислением.
[Деньги составлены на 10 лет по ставке 6 процентов, как в таблице 2A.]

Таблица 2C. JavaScript для сложных процентов (начисляется ежегодно).
Обязательно введите темп роста (r) целым числом, а не десятичным.
[Например, введите 6 для 6%. Не вводите десятичное значение 0,6.]

Сложные проценты JavaScript предоставлено исходным кодом JavaScript

6.Определение времени удвоения: t = 0,695 / r

Таблица 3. Определение времени удвоения популяции.


7. Определение скорости роста: r = 0,695 / т

Таблица 4. Определение темпов роста населения.


8. Замена Воспроизведение vs.Нулевой рост населения

Замещающее размножение просто определяется как замена супружеской пары (мужчины и женщины) одинаковым количеством людей (в среднем один мальчик и одна девочка). Его также можно определить как по одной дочери, рожденной от каждой матери. В зависимости от условий жизни в стране замещающее воспроизводство должно быть более двух потомков из-за фактора смертности. В Соединенных Штатах в конце 1900-х годов замещающее воспроизводство составляло примерно 2,2 или 2,3.Замещающее воспроизводство отличается от нулевого прироста населения, когда количество рождений равно количеству смертей в год. Годовой нулевой прирост населения для данной страны рассчитывается по следующему уравнению:

Количество рождений + количество иммигрантов = количество смертей + количество эмигрантов

Хотя в Соединенных Штатах средний размер семьи приближается к воспроизводству замещения, у них нет ежегодного нулевого прироста населения. Это связано с тем, что уровень рождаемости превышает уровень смертности в год, существует значительная чистая иммиграция в страну, а возрастная структура включает множество бэби-бумеров, которые теперь являются родителями.


9. Земля как источник пищи для населения мира

Хотя было подсчитано, что на континентах мира есть только около 10 миллиардов акров пахотных земель (лишь часть общей площади мирового океана), именно здесь добывается большая часть пищи для людей. По массе (в тоннах) общий урожай аквакультуры в Мировом океане, включая водоросли, рыбу и моллюсков, составляет менее 1/600 от земледелия. Пища из земли включает зерна (крупы), бобовые, корнеплоды, такие как картофель и ямс, овощи, говядину и птицу.Но даже наша еда из земли - не бесконечный ресурс. Учитывая, что 1/4 акра земли требуется для обеспечения продовольствием одного человека в год, тогда 10 миллиардов акров пахотной земли будут поддерживать 40 миллиардов человек (10 миллиардов акров разделить на 0,25 акра на человека). Учитывая, что в начале 21 века население мира составляет чуть более 6 миллиардов (и ежегодный прирост составляет 2%), потенциальная емкость для людей (40 миллиардов) может быть достигнута примерно за одно столетие. По следующей ссылке показан счетчик населения мира в реальном времени.Каждую секунду рождается пять человек и два человека умирают. При увеличении численности населения на три человека в секунду, в конце 50-минутной лекции по биологии 100 население мира увеличится на 9000 человек. По итогам года население увеличится почти на 95 миллионов. Начиная с населения в 6 миллиардов, это будет примерно 1,58 процента в год.

Численность населения # Год, чтобы добавить миллиард Год

1-й миллиард

С начала до 1800

1800

2-й миллиард

130 лет

1930

3-й миллиард

30 лет

1960

4-й миллиард

15 лет

1975

5-й миллиард

12 лет

1987

6-й миллиард

11 лет

1998

7-й миллиард

11 лет

2009


10.Глобальное изменение климата, сельское хозяйство и парниковый эффект

Стеклянные стены и крыша теплицы улавливают солнечную энергию, что приводит к повышению температуры внутри. Это же явление, называемое «парниковым эффектом», вызывается газами двуокиси углерода и метана в атмосфере Земли. Тенденция к потеплению Земли, вызванная парниковыми газами, известна как «глобальное потепление». Имеются убедительные доказательства того, что по состоянию на 2005 г. происходит глобальное потепление, например таяние ледников Аляски и Канады; однако точная причина глобального потепления является спорным вопросом.

Одна из самых интересных гипотез, объясняющих глобальное потепление, обсуждается Уильямом Ф. Руддиманом в мартовском номере журнала Scientific American за 2005 год: «Как люди впервые повлияли на глобальный климат?» ( Sci. Amer. 292 (3): 46-53). По словам доктора Руддимана, глобальное потепление началось за тысячи лет до того, как мы начали сжигать ископаемое топливо на электростанциях, промышленных предприятиях и в двигателях внутреннего сгорания. Этот вывод основан на данных по двуокиси углерода и метану, захваченным в кернах ледяных щитов Гренландии и Антарктики.Количество солнечной радиации, которая достигает Земли каждый год, основано на нескольких сложных орбитальных циклах, включая форму орбиты Земли вокруг Солнца, а также колебание или наклон Земли вокруг своей оси. Руддиман считает, что солнечная радиация достигла пика около 11000 лет назад. Земля имела тенденцию к постепенному похолоданию примерно 8000 лет назад, дата, которая совпадает с появлением человеческого сельского хозяйства. Когда люди начали рубить и сжигать леса и обрабатывать огромные площади земли, в атмосферу были выброшены более высокие уровни углекислого газа и метана.Например, выращивание рисовых полей 5000 лет назад хорошо коррелирует с увеличением метана, продукта бактерий гниения на заболоченных территориях. Колебания похолодания в течение 8000-летнего тренда потепления можно объяснить массовыми смертями, вызванными серьезными человеческими заболеваниями (эпидемиями), в результате которых уменьшились численность населения и выбросы парниковых газов. В заключение, общая тенденция к потеплению коррелирует с человеческим сельским хозяйством и экспоненциальным ростом населения. Фактически, Руддиман предполагает, что без развития сельского хозяйства мы вступили бы в другой период оледенения!

Предсказания ученых 1970-х годов о том, что нас ждет еще один ледниковый период, верны, если вы проследите за тенденцией похолодания, которая началась 11000 лет назад.Предсказания ученых о глобальном потеплении в 1980-х годах также верны, если включить парниковый эффект. Текущая тенденция к глобальному потеплению может продлиться еще несколько веков, пока мы не исчерпаем запасы ископаемого топлива. Надеюсь, мы создадим эффективный, экологически чистый источник энергии, который не зависит от ресурсов других стран. Было бы интересно заглянуть в будущее, чтобы увидеть, стихнет ли глобальное потепление, когда ископаемое топливо больше не будет сжигаться.


11.Вопросы о росте населения

1. Начиная с 25 000 человек на 1 января, население достигает 26 000 к 31 декабря. Каков годовой прирост в процентах?

2. Начиная с 25 000 человек в 1966 году, население Эскондидо достигло 75 000 к 1984 году. Каков процент увеличения за этот 18-летний период? Если вы спроецируете этот огромный рост на 2001 год, это объяснит затор на шоссе 78.

3.В Кении годовой коэффициент рождаемости составляет 52 на 1000 человек, а уровень смертности - 12 на 1000. Рассчитайте годовой процент роста (r) для Кении.

4. Каково время удвоения в годах для Кении? [Подсказка: N o удваивается, когда rt = 0,695.]

5. Местный кредитный союз выплачивает 10% процентов (начисленных почасово) по сберегательным счетам. Когда ваш первоначальный депозит в размере 100 долларов удвоится?

6. Сколько денег будет на вышеуказанном счете (вопрос 5) через 30 лет? [Предполагается, что процентная ставка составляет 10%, а вы не делаете депозиты и не снимаете средства.]

7. Рассчитайте приблизительное увеличение в процентах в результате ежедневного роста на 3% в течение 100 лет.

8. Рассчитать приблизительное увеличение в процентах в результате ежедневного увеличения на 1% в течение 100 лет?

9. Естественный прирост (r) мирового населения составляет примерно 2 процента в год. Какое время удвоения мира основано на этой скорости роста?

10. Начав с 5 миллиардов человек в 1988 году, подсчитайте численность населения мира в 2100 году.

11. Некоторые довольно пессимистические демографы предполагают, что максимальное количество людей, которые могут поддерживаться земледелием, составляет около 40 миллиардов человек. Это означает, что несущая способность (К) для Земли составляет 40 миллиардов. Когда в 1988 году население Земли составляло 5 миллиардов человек, когда земля достигнет 40 миллиардов (по годам)?

12. В оптимальных условиях Wolffia microscopica имеет время удвоения за счет бутонизации 30 часов (1,25 дня). Рассчитайте скорость роста (r) Вт.microscopica в сутки.

13. Начиная с одного растения вольфии (со средним объемом в один кубический миллиметр), рассчитайте окончательную популяцию (N) через 4 месяца (125 дней). [Это число примерно эквивалентно объему Земли в кубических миллиметрах!]

14. С шестью потомками от каждой женщины (равное соотношение полов) и средним интервалом между поколениями в 20 лет, сколько всего потомства пара теоретически может произвести за 60 лет? [Если предположить, что все в семье живут так долго.]

15. Ссылаясь на вопрос № 14 выше, сколько всего людей было бы у вас за 60 лет, если бы интервал между поколениями увеличился до 30 лет? [Всем придется немного подождать, прежде чем появятся дети.]

16. Если у Джека и Джилл будет двое детей в возрасте 20 лет и их дети будут вести себя одинаково, в возрасте 65 лет у них будет всего 8 правнуков, 4 внука и 2 ребенка. Если бы они ждали до 30 лет, чтобы иметь детей (и их дети вели бы себя аналогичным образом), сколько всего потомков у них было бы в возрасте 65 лет?

Scantron Choices:

Я знаю, что есть 4 а, 4 b, 4 c, 4 d и 4 e.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *